Question

6．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}}$，则a_n=${2}^{{2}^{1-n}}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式两边取对数，可得数列{lga_n}是以lga₁=lg2为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式结合对数的运算性质得答案．

解答 解：由${a}_{n+1}=\sqrt{{a}_{n}}$，
得$lg{a}_{n+1}=lg\sqrt{{a}_{n}}=\frac{1}{2}lg{a}_{n}$，
∴数列{lga_n}是以lga₁=lg2为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则$lg{a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}lg2=lg{2}^{{2}^{1-n}}$．
∴${a}_{n}={2}^{{2}^{1-n}}$．
故答案为：${2}^{{2}^{1-n}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．