Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象与y轴的交点为（$0，\frac{3}{2}$），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x₀，3），（x₀+2π，-3）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（3）求这个函数的单调递增区间和对称中心．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A，T，利用周期公式可求ω，又图象与y轴交于点$（0，\frac{3}{2}）$，结合范围$|φ|＜\frac{π}{2}$，可求φ，可得函数的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数的递增区间，令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，可得函数的对称中心：

解答 （ 本题满分为12分）
解：（1）由题意可得A=3，
由在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，3），（x₀+2π，-3），得：$\frac{T}{2}={x_0}+2π-{x_0}=2π$，
∴T=4π，从而$ω=\frac{1}{2}$，可得：f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
又图象与y轴交于点$（0，\frac{3}{2}）$，
∴$\frac{3}{2}=3sinφ$⇒$sinφ=\frac{1}{2}$，
∵由于$|φ|＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{6}$，
∴函数的解析式为$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$，…（5分）
（2）将函数y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将得函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，
最后将所得函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍得到函数$y=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$的图象，…（8分）
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得x∈$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]，（k∈Z）$，可得函数的递增区间为：$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]，（k∈Z）$，…（10分）
令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，可得：x=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，可得函数的对称中心：$（-\frac{π}{3}+2kπ，0）（k∈Z）$．…（12分）

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．