Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄、S₁₀、S₇成等差数列．
（Ⅰ）求证而a₃，a₉，a₆成等差数列；
（Ⅱ）若a₁=1，求数列{a³_n}的前n项的积．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接由等比数列的前n项和结合S₄、S₁₀、S₇成等差数列得到等比数列的公比的关系，两边同时乘以a₁得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等比数列的公比，然后直接由{a³_n}的前n项的积结合等比数列的前n项和得答案．

解答： 解：（Ⅰ）当q=1时，2S₁₀≠S₄+S₇，
∴q≠1，
由2S₁₀=S₄+S₇，得

2a1(1-q10)

1-q

=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

．
∵a₁≠0，q≠1，
∴2q¹⁰=q⁴+q⁷，
则2a1q8=a1q2+a1q5，
∴2a₉=a₃+a₆，
∴a₃，a₉，a₆成等差数列；
（Ⅱ）依题意设数列{an3}的前n项的积为T_n，
Tn=a13•a23…an3
=1³•q³•（q²）³…（q^n-1）³
=（q³）^{1+2+…+（n-1）}=(q3)

n(n-1)

2

，
又由（Ⅰ）得2q¹⁰=q⁴+q⁷，
∴2q⁶-q³-1=0，解得q³=1（舍），q3=-

1

2

．
∴Tn=(-

1

2

)

n(n-1)

2

．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．