Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=

2

b=

2

，
故椭圆方程为

x2

2

+y2=1．    　　　　                …（5分）
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为M（0，1），F（1，0），所以k_PQ=1．                     …（7分）
于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

．    …（9分）
由题意应有

MP

•

FQ

=0，所以x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，
所以2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0．
整理得2×

2m2-2

3

-

4m

3

（m-1）+m²-m=0．
解得m=-

4

3

或m=1．                               …（12分）
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．
当m=-

4

3

时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-

4

3

．…（13分）