Question

已知椭圆的长轴是2

3

，焦点坐标分别是（-

2

，0），（

2

，0）．
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于两不同的点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：

分析：（1）由已知得2a=2

3

，c=

2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由

y=x+m x2 3 +y2=1

，得4x²+6mx+3m²-3=0，由此利用韦达定理能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）由已知得2a=2

3

，c=

2

，
解得a=

3

，∴b²=3-2=1，…（2分）
∴椭圆的标准方程为

x2

3

+y2=1．…（4分）
（2）由

y=x+m x2 3 +y2=1

，
解方程组并整理得4x²+6mx+3m²-3=0，…（7分）
∵有两个不同的交点
∴△=（6m）²-4×4×（3m²-3）=-12（m²-4）＞0．…（9分）
解不等式得-2＜m＜2．
∴m的取值范围（-2，2）．…（12分）

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．