Question

椭圆C过两个点A（

5

2

，2

3

），B（

5 2

2

，2

2

）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M（2，1）作直线l，交椭圆C于P、Q两点，且M为P、Q的中点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆C的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），把A，B的坐标代入即可得出；
（2）若l的斜率不存在，此时PQ的中点不为M，应舍去．设l的斜率为k，可得l的方程y=k（x-2）+1，与椭圆的方程联立可得根与系数，再利用中点坐标公式可得k即可．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
则由题意可得

25 4 m+12n=1 25 2 m+8n=1

，
解得

m= 1 25 n= 1 16

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）若l的斜率不存在，则直线l的方程为：x=2．
此时PQ的中点不为M，显然不合题意，∴l的斜率存在，设其为k，
则l：y=k（x-2）+1，
由

y=k(x-2)+1 x2 25 + y2 16 =1

则有（25k²+16）x²+50k（1-2k）x+25（1-2k）²-400=0，
由韦达定理，x1+x2=

50k(2k-1)

25k2+16

   又x₁+x₂=4，
∴

50k(2k-1)

25k2+16

=4，
∴k=-

32

25

，
此时方程（*）△＞0，
∴l方程为y=-

32

25

(x-2)+1即32x+25y-89=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数、中点坐标公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．