Question

已知如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2AA₁=4，E是上底面中心，F，M为A₁B₁与CD的中点．
（Ⅰ）写出C₁M与平面EFAD的位置关系并证明．
（Ⅱ）求证：平面B₁BAF⊥平面EFAD．
（Ⅲ）求几何体B₁EF-BDA的表面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）C₁M∥平面EFAD．由已知条件条件出C₁M∥AF，由此能证明C₁M∥平面EFAD．
（Ⅱ）由已知条件推导出AD⊥平面B₁BAF，由此能证明B₁BAF⊥平面EFAD．
（Ⅲ）几何体B₁EF-BDA的表面积：S=S_梯形ADEF+S梯形BDEB1+S梯形ABB1F+S△B1EF+S_△ABD，由此能示出结果．

解答： （Ⅰ）解：C₁M∥平面EFAD．证明如下：
由题意知A₁F∥CM，AA₁∥CC₁，
又CC₁∩CM=C，∴面CC₁M∥面A₁AF，
又C₁M与AF共面，∴C₁M∥AF，
∵AF?平面EFAD，C₁M不包含于平面EFAD，
∴C₁M∥平面EFAD．
（Ⅱ）证明：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AD⊥平面AA₁B₁B，即AD⊥平面B₁BAF，
又AD?平面EFAD，
∴平面B₁BAF⊥平面EFAD．
（Ⅲ）解：∵AB=AD=2AA₁=4，
E是上底面中心，F，M为A₁B₁与CD的中点，
∴几何体B₁EF-BDA的表面积：
S=S_梯形ADEF+S梯形BDEB1+S梯形ABB1F+S△B1EF+S_△ABD
=

1

2

(2+4)•

7

+

1

2

(2

2

+4

2

)•2+

1

2

(2+4)•2+

1

2

×2×2+

1

2

×4×4
=3

7

+6

2

+16．

点评：本题考查C₁M与平面EFAD的位置关系的判断与证明，考查平面与平面垂直的证明，考查几何体B₁EF-BDA的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．