Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

1

4

（m-519）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由2S_nS_n-1=S_n-1-S_n（n≥2），可得2=

1

Sn

-

1

Sn-1

（n≥2），利用等差数列的通项公式即可得出

1

Sn

，再利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1j即可得出．
（II）利用（I）和“裂项求和”即可得出；
（III）利用T_n的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵2S_nS_n-1=S_n-1-S_n（n≥2），
∴2=

1

Sn

-

1

Sn-1

（n≥2），
又∵a₁=1，∴

1

S1

=1，
∴数列{

1

Sn

}为首项为1，公差为2的等差数列，
∴

1

Sn

=1+(n-1)•2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-

2

(2n-1)(2n-3)

，
∴an=

1，(n=1) - 2 (2n-1)(2n-3) ，(n≥2).

．
（Ⅱ）bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
（Ⅲ）令T(x)=

x

2x+1

，则T（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当n=1时，Tn=

n

2n+1

(n∈N*)取得最小值.T1=

1

3

．
由题意可知，要使得对任意n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-519)成立，
只要T1＞

1

4

(m-519)即可．
∴

1

3

＞

1

4

(m-519)，
∴m＜519+

4

3

，
又m∈N，∴m=520．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式、通项公式与前n项和的关系、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．