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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为 B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．
    （l）若|A1B1|=
    		15
    ，设四边形B1F1B2F2的面积为S1，四边形A1B1A2B2的面积为S2，且S1=
    		3
    2
    S2，求椭圆C的方程；
    （2）若F2（3，0），设直线y=kx与椭圆C相交于P，Q两点，M，N分别为线段PF2，QF2的中点，坐标原点O在MN为直径的圆上，且
    		2
    2
    ＜e≤
    		3
    2
    ，求实数k的取值范围．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由|A1B1|=
    		15
    ，可得a2+b2=15，由S1=
    		3
    2
    S2，可得2c=
    		3
    a    ，联立
    a2+b2=15
    2c=
    		3
    a
    a2=b2+c2
    ，解得即可；
    （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程与椭圆的方程联可得根与系数的关系．由题意可知：OM⊥ON，且OMF2N为矩形，可得PF2⊥QF2，利用
    F2P
    •
    F2Q
    =0，可得k与a的关系，利用
    		2
    2
    ＜e≤
    		3
    2
    ，可得12≤a2＜18，即可得出k的取值范围．
    解答： 解：（1）∵|A1B1|=
    		15
    ，∴a2+b2=15，
    由S1=
    		3
    2
    S2，可得2bc=
    		3
    2
    ×2ab，化为2c=
    		3
    a    ，
    联立
    a2+b2=15
    2c=
    		3
    a
    a2=b2+c2
    ，
    解得a2=12，b2=3，c=3．
    ∴椭圆C的方程为
    x2
    12
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1
    y=kx
    ，化为（b2+a2k2）x2=a2b2，
    ∴x1+x2=0，x1x2=
    -a2b2
    b2+a2k2
    ．
    由题意可知：OM⊥ON，且OMF2N为矩形，
    ∴PF2⊥QF2，而
    F2P
    =（x1-3，y1），
    F2Q
    =（x2-3，y2），
    ∴
    F2P
    •
    F2Q
    =（x1-3）•（x2-3）+y1y2=（1+k2）x1x2+9=0，
    即
    -a2(a2-9)(1+k2)
    a2k2+(a2-9)
    +9=0    ，
    ∴k2=-1-
    81
    a4-18a2
    ，
    ∵
    		2
    2
    ＜e≤
    		3
    2
    ，
    ∴12≤a2＜18，可得k2≥
    1
    8
    ，
    ∴k∈(-∞，-
    		2
    4
    ]    ∪[
    		2
    4
    ，+∞)    ．
    点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、矩形的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列4个命题：
    ①若sin（
    π
    4
    +α）=
    3
    5
    ，则cos（α-
    π
    4
    ）=
    3
    5

    ②存在实数α使sinα+cosα=
    3
    2

    ③x=
    π
    8
    是函数y=sin（2x+
    5π
    4
    ）的图象的一条对称轴方程
    ④要得到函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x+
    π
    3
    ）的图象向左平移
    π
    3
    个单位
    其中正确的命题序号是（　　）
    A、①②③B、③④
    C、①③D、①③④

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率e=
    		2
    2
    ，且经过点（
    		6
    ，1），O为坐标原点．
    （1）求椭圆E的标准方程．
    （2）圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x=-4在x轴上方的一点，过M点作圆O的两条切线，切点分别为P，Q，当∠PMQ=60°时，试证明点M关于直线PQ的对称点在圆O上．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点A（-3，1）是椭圆
    x2
    36
    +
    y2
    4
    =1内的一点，点M为椭圆上的任意一点（除短轴端点外），O为原点．过此点A作直线l与椭圆相交于C、D两点，且A点恰好为弦CD的中点．再把点M与短轴两端点B1、B2连接起来并延长，分别交x轴于P、Q两点．
    （1）求弦CD的长度；
    （2）求证：|OP|•|OQ|为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}中，an+1=2an+1，且a1=1．
    （1）求证：数列{an+1}是等比数列；
    （2）求数列{an}的通项公式；
    （3）求数列{n•（an+1）}的前n项和Tn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项Sn满足2SnSn-1=Sn-1-Sn
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）设bn=
    Sn
    2n+1
    ，求数列{bn}的前n项和Tn；
    （Ⅲ）是否存在自然数m，使得对任意n∈N*，都有Tn＞
    1
    4
    （m-519）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    求经过点A（-3，0），且与圆C：（x-3）2+y2=64内切的圆的圆心M的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x-
    4
    x
    +clnx，其中c∈R，
    （1）当c=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
    （2）讨论f（x）的单调性；
    （3）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在c，使得k=2+c？若存在，求出c的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1，点B，C分别是其上下顶点，点A在椭圆上且位于第一象限．直线AB交x轴于点M，直线AC交x轴于点N．
    （1）若
    AB
    +
    AM
    =0，求A点坐标；
    （2）若△AMN的面积大于△OCN的面积，求直线AB的斜率的取值范围．

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