Question

已知点A（-3，1）是椭圆

x2

36

+

y2

4

=1内的一点，点M为椭圆上的任意一点（除短轴端点外），O为原点．过此点A作直线l与椭圆相交于C、D两点，且A点恰好为弦CD的中点．再把点M与短轴两端点B₁、B₂连接起来并延长，分别交x轴于P、Q两点．
（1）求弦CD的长度；
（2）求证：|OP|•|OQ|为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=-6，y₁+y₂=2，利用点差法得直线CD：x-3y+6=0，由此能求出|CD|．
（2）设M（x₀，y₀），P（p，0），Q（q，0）．由直线方程的截距式及M，P，B₁三点共线，得p=

2x0

2+y0

，同理q=

2x0

2-y0

．由此能证明|OP|•|OQ|为定值36．

解答： （1）解：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=-6，y₁+y₂=2，
把C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）代入x²+9y²=36，得：

x12+9y12=36 x22+9y22=36

，两式相减，得：-6（x₁-x₂）+18（y₁-y₂）=0，
∴k_CD=

y1-y2

x1-x2

=

1

3

，∴直线CD：y-1=

1

3

(x+3)，即x-3y+6=0，
联立

x-3y+6=0 x2 36 + y2 4 =1

，得y²-2y=0，解得

y=0 x=-6

，或

y=2 x=0

，
∴|CD|=

36+4

=2

10

．
（2）证明：设M（x₀，y₀），P（p，0），Q（q，0）．
由直线方程的截距式及M，P，B₁三点共线，
得：

x0

p

-

y0

2

=1，∴p=

2x0

2+y0

，
同理q=

2x0

2-y0

．
∴|OP|•|OQ|=|pq|=

4x0

4-y02

，
由椭圆方程，得x02=

36(4-y02)

4

，
∴|OP||OQ|=36，
∴|OP|•|OQ|为定值36．

点评：本题考查线段长的求法，考查两线段乘积为定值的证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．