Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN．
（Ⅰ）求证：AM⊥PD；
（Ⅱ）求二面角P-AM-N的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意可得：CD⊥平面PAD，即可得到CD⊥AM，PC⊥平面AMN，可得PC⊥AM，从而AM⊥平面PCD，即可得出结论；
（2）证明∠PMN为二面角P-AM-N的平面角，即可求解．

解答： （I）证明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．∴CD⊥平面PAD
∵AM?平面PAD，∴CD⊥AM．
∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM．∴AM⊥平面PCD．∴AM⊥PD
（II）解：∵AM⊥平面PCD（已证）．
∴AM⊥PM，AM⊥NM．∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角
∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM．
在直角△PCD中，不妨设CD=2，则PD=2

2

，∴PC=2

3

．
∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，PM=

1

2

PD=

2

由Rt△PMN∽Rt△PCD，得MN=

CD•PM

PC

=

6

3

即二面角P-AM-N的正弦值是

6

3

．

点评：本题主要考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，以及求二面角的平面角，而空间角解决的关键是做角，因此由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键．