Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，且经过点（

6

，1），O为坐标原点．
（1）求椭圆E的标准方程．
（2）圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x=-4在x轴上方的一点，过M点作圆O的两条切线，切点分别为P，Q，当∠PMQ=60°时，试证明点M关于直线PQ的对称点在圆O上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 2 2 6 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆E的标准方程．
（2）连接OM，OP，OQ，设M（-4，m），由圆的切线性质及∠PMQ=60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP=30°，从而可求M（-4，4），进而以OM为直径的圆K的方程为（x+2）²+（y-2）²=8与圆O：x²+y²=8联立，两式相减可得直线PQ的方程．由此能证明点M关于直线PQ的对称点在圆O上．

解答： （1）解：∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，
且经过点（

6

，1），
∴

c a = 2 2 6 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=8，b²=4，c²=4，
∴椭圆E的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）证明：连接OM，OP，OQ，设M（-4，m）
由圆的切线性质及∠PMQ=60°，
知△OPM为直角三角形且∠OMP=30°，
∵|OP|=2

2

，∴|OM|=4

2

，
∴

16+m2

=4

2

，∵m＞0，∴m=4，
∴M（-4，4），
∴以OM为直径的圆K的方程为（x+2）²+（y-2）²=8
与圆O：x²+y²=8联立，两式相减可得直线PQ的方程为：x-y+2=0．
|OM|=

16+16

=4

2

，O到直线PQ的距离d=

|2|

2

=

2

，
∴M到直线PQ的距离4

2

-

2

=3

2

，
∴点M关于直线PQ的对称点到直线PQ的距离为3

2

，
∵圆O的半径r=2

2

，O到直线PQ的距离为

2

，
∴点M关于直线PQ的对称点在圆O上．

点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，解题的关键是确定M的坐标，进而确定以OM为直径的圆K的方程．