Question

设椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，点B，C分别是其上下顶点，点A在椭圆上且位于第一象限．直线AB交x轴于点M，直线AC交x轴于点N．
（1）若

AB

+

AM

=0，求A点坐标；
（2）若△AMN的面积大于△OCN的面积，求直线AB的斜率的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设M（a，0），可得a的坐标，代入椭圆方程，即可求得结论；
（2）设直线AB的方程为y=kx+

3

，求出M，N，A的坐标，表示面积，利用△AMN的面积大于△OCN的面积，建立不等式，即可求直线AB的斜率的取值范围．

解答： 解：（1）椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，点B，C分别是其上下顶点，
点A在椭圆上且位于第一象限，直线AB交x轴于点M，直线AC交x轴于点N．
当

AB

+

AM

=0时，A是线段BM的中点，
设M（a，0），∵B（0，

3

），∴A（

a

2

，

3

2

），
∵点A在椭圆上且位于第一象限，
∴

a2

16

+

3

12

=1，解得c=2

3

，或c=-2

3

（舍），
∴A（

3

，

3

2

）．
（2）设直线AB的方程为y=kx+

3

，则M（-

3

k

，0）
y=kx+

3

代入椭圆方程可得A（-

8 3 k

3+4k2

，

3 3 -4 3 k2

3+4k2

），
∴直线AC的方程为y=-

3

4k

x-

3

，
∴N（-

4 3 k

3

，0）
∵△AMN的面积大于△OCN的面积，
∴

1

2

（-

3

k

+

4 3 k

3

）×

3 3 -4 3 k2

3+4k2

＞

1

2

×（-

4 3 k

3

）×

3

，
∴-

1

2

＜k＜0．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．