Question

13．如图，在三角形ABC中，AB=2，AC=1，cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，∠BAC的平分线交BC于点D．
（1）求边BC长及$\frac{BD}{DC}$的值；
（2）求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可求出边长BC，再利用角平分线定理求出$\frac{BD}{DC}$的值；
（2）根据平面向量的线性运算与数量积运算，即可求出$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：（1）△ABC中，AB=2，AC=1，cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
=2²+1²-2×2×1×$\frac{1}{3}$
=$\frac{11}{3}$，
∴BC=$\sqrt{\frac{11}{3}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$；
又∠BAC的平分线交BC于点D，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{1}$=2；
（2）$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BA}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AB}$
=|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos（π-∠BAC）+${|\overrightarrow{AB}|}^{2}$
=2×1×（-$\frac{1}{3}$）+2²
=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与线性运算问题，也考查了解三角形的应用问题，是综合性题目．