Question

10．设a为常数，已知函数f（x）=x²-alnx在区间[1，2]上是增函数，$g（x）=x-a\sqrt{x}$在区间[0，1]上是减函数．设P为函数g（x）图象上任意一点，则点P到直线l：x-2y-6=0距离的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由函数f（x）=x²-alnx在区间[1，2]上是增函数，$g（x）=x-a\sqrt{x}$在区间[0，1]上是减函数，可求得a=2，设P（t，t-2$\sqrt{t}$），（t≥0）
则点P到直线l：x-2y-6=0距离为d=$\frac{|t-2（t-2\sqrt{t}）-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|t-4\sqrt{t}+6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（\sqrt{t}-2）^{2}+2}{\sqrt{5}}$$≥\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$即可．

解答 解：$f′（x）=2x-\frac{a}{x}，（x＞0）$，要使函数f（x）=x²-alnx在区间[1，2]上是增函数，
则f$f′（x）=2x-\frac{a}{x}≥0在[1，2]上恒成立$，a≤（2x²）_min=2．
要使$g（x）=x-a\sqrt{x}$在区间[0，1]上是减函数，则$g′（x）=1-\frac{a}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}≤0在（1，2]$恒成立．
a$≥（2\sqrt{x}）_{max}=2$
综上，a=2
故g（x）=x-2$\sqrt{x}$，设P（t，t-2$\sqrt{t}$），（t≥0）
则点P到直线l：x-2y-6=0距离为d=$\frac{|t-2（t-2\sqrt{t}）-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|t-4\sqrt{t}+6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（\sqrt{t}-2）^{2}+2}{\sqrt{5}}$$≥\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

点评 本题考查了函数的单调性，点到直线距离的最值，属于中档题．