Question

2．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{ln（{x+1}）（{x＞0}）}\\{\frac{1}{2}x+1（{x≤0}）}\end{array}}\right.$，如果存在实数s，t，其中s＜t，使得f（s）=f（t），则t-s的取值范围是（　　）

• A． [3-2ln2，2）
• B． [3-2ln2，e-1]
• C． [e-1，2]
• D． [0，e+1）

Answer 1

分析 由条件可得s=2ln（1+t）-2，0＜t≤e-1，t-s=2+t-2ln（1+t），令g（t）=2+t-2ln（1+t），0＜t≤e-1，求得导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．

解答 解：由s＜t，使得f（s）=f（t），
可得$\frac{1}{2}$s+1=ln（1+t），
解得s=2ln（1+t）-2，0＜t≤e-1，
可得t-s=2+t-2ln（1+t），
令g（t）=2+t-2ln（1+t），0＜t≤e-1，
可得g′（t）=1-$\frac{2}{1+t}$=$\frac{t-1}{1+t}$，
由0＜t＜1，g（t）递减；1＜t＜e-1，g（t）递增，
可得g（1）取得极小值且为最小值3-2ln2；
由g（0）=2，g（e-1）=e-1．
综上可得t-s的范围为[3-2ln2，2）．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用：求取值范围，注意运用数形结合和函数的导数，求出函数的单调区间、极值和最值，考查转化思想的运用，属于中档题．