Question

8．已知函数g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a，h（x）=2x•g（x）+1，若对任意x∈（0，2]，不等式|g（x）|x-1≤0恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）在区间[t，t+1]上满足不等式|h（x）|≥1的解有且只有一个，求实数t的取值范围（直接写答案，不必写过程）；（3）若f（x）=h（x）-x²+2x，试判断在区间（0，m）内是否存在一个实数b，使得函数f（x）的图象在x=b处的切线的斜率等于m²-m-1，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|g（x）|≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，即为|$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a|≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，即为-$\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，化为$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$≤a≤$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，分别求出不等式左右两边函数的最值，可得a的范围；
（2）|h（x）|≥1，即为x³-3x+1≥1或x³-3x+1≤-1，解得-$\sqrt{3}$≤x≤0或x≥$\sqrt{3}$或x≤-2或x=1，由题意可得只含元素1，即可得到所求范围；
（3）求出f（x）的导数，由题意假设在区间（0，m）内存在一个实数b，使得函数f（x）的图象在x=b处的切线的斜率等于m²-m-1，即有f′（b）=m²-m-1，即3b²-2b-m²+m=0在（0，m）根的情况．令g（b）=3b²-2b-m²+m对称轴为b=$\frac{1}{3}$，可得g（$\frac{1}{3}$）=-（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{12}$＜0，g（0）=m-m²，g（m）=2m²-m，讨论m的范围，结合零点存在定理，即可得到结论．

解答 解：（1）对任意x∈（0，2]，不等式|g（x）|x-1≤0恒成立，
即为|g（x）|≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，
即为|$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a|≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，
即为-$\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，
化为$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$≤a≤$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，
由y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$的导数为y′=x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在x∈（0，2]恒成立，
可得y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$在（0，2]递增，x=2取得最大值2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
由y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$的导数为y′=x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
在（0，1）函数y递减，在（1，2）函数y递增，
可得y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$在x=1取得最小值1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
可得$\frac{3}{2}$≤a≤$\frac{3}{2}$，即a=$\frac{3}{2}$，
则实数a的取值范围是{$\frac{3}{2}$}；
（2）g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a，h（x）=2x•g（x）+1=x³-3x+1，
|h（x）|≥1，即为x³-3x+1≥1或x³-3x+1≤-1，
解得-$\sqrt{3}$≤x≤0或x≥$\sqrt{3}$或x≤-2或x=1，
在区间[t，t+1]上满足不等式|h（x）|≥1的解有且只有一个，
可得0＜t＜$\sqrt{3}$-1；
（3）f（x）=h（x）-x²+2x=x³-x²-x+1，
f′（x）=3x²-2x-1，
由题意假设在区间（0，m）内存在一个实数b，
使得函数f（x）的图象在x=b处的切线的斜率等于m²-m-1，
即有f′（b）=m²-m-1，即3b²-2b-m²+m=0在（0，m）根的情况．
令g（b）=3b²-2b-m²+m对称轴为b=$\frac{1}{3}$，
可得g（$\frac{1}{3}$）=-（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{12}$＜0，
g（0）=m-m²，g（m）=2m²-m，
当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，g（0）＞0，g（m）＜0，g（b）=0在（0，m）有一根；
当$\frac{1}{2}$≤m＜1时，g（0）＞0，g（$\frac{1}{3}$）＜0，g（b）=0在（0，$\frac{1}{3}$）有一根；
当m≥1时，g（$\frac{1}{3}$）＜0，g（m）＞0，g（b）=0在（$\frac{1}{3}$，m）有一根．
综上可得，在区间（0，m）内存在一个实数b，
使得函数f（x）的图象在x=b处的切线的斜率等于m²-m-1．

点评 本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查分离参数和分类讨论思想方法，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．