Question

（1）在公园游园活动中有一个射击游戏项目，某人参加该游戏，结果服从线性回归方程

y

=

1

2

x+a，其中x表示每组射击次数，y表示每组命中的平均环数，共射击10组后，样本的平均数据为

.

x

=10，

.

y

=8，求参数a．
（2）在公园游园活动另一个游戏项目：甲箱子里装有a（a为（1）中的结果）个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
①求在1次游戏中获奖的概率；
②求在两次游戏中，获奖次数记为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）把

.

x

=10，

.

y

=8分别代入回归方程

y

=

1

2

x+a，能求出a=3．
（2）（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A_i（i=，0，1，2，3），设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A₂∪A₃，由A₂、A₃互斥，能求出在1次游戏中获奖的概率．
（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，由题意X～B（2，

7

10

），由此能求出X的分布列及数学期望．

解答： 解：（1）∵回归方程

y

=

1

2

x+a，其中x表示每组射击次数，y表示每组命中的平均环数，
共射击10组后，样本的平均数据为

.

x

=10，

.

y

=8，
∴8=

1

2

×10+a，解得a=3．
（2）：（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A_i（i=，0，1，2，3），
设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A₂∪A₃，
又P（A₂）=

C 2 3

C 2 5

•

C 2 2

C 2 3

+

C 1 3 C 1 2

C 2 5

•

C 1 2

C 2 3

=

1

2

，
P（A₃）=

C 2 3

C 2 5

•

C 1 2

C 2 3

=

1

5

，
且A₂、A₃互斥，
所以P（B）=P（A₂）+P（A₃）=

1

2

+

1

5

=

7

10

．
（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．由题意X～B（2，

7

10

），
P（X=0）=（1-

7

10

）²=

9

100

，
P（X=1）=C₂¹

7

10

（1-

7

10

）=

21

50

，
P（X=2）=（

7

10

）²=

49

100

，
所以X的分布列是

X	0	1	2
P	9 100	21 50	49 50

X的数学期望E（X）=0×

9

100

+1×

21

50

+2×

49

100

=

7

5

．

点评：本题考查回归直线方程的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．