Question

如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=4

3

，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上，记sin∠MNB=x，线段MN的长度为F（x），则函数y=F（x）的图象大致为（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD边E上，则△MNE≌△MNB，EM=BM，由∠MNB=θ，MN=l．由AB=6cm，我们可得EM+AM=6，然后将EM与BM分别用含θ的式子表示，代入即可得到l表示成θ的函数的解析式．进而得到函数y=F（x）的解析式，分析出函数的图象形状．

解答： 解：由题设，如图所示，△NBM≌△NEM，∠MNB=θ，MN=l，
∴∠AEM=90°-2θ，则MB=lsinθ，AM=l•sinθsin（90°-2θ），
由题设得：AM+MB=lsinθ+l•sinθsin（90°-2θ）=6，
从而得l=

6

sinθ+sinθ•sin(90°-2θ)

=

6

sinθ+sinθ•cos2θ

=

6

sinθ+sinθ•(1-2sin2θ)

，
∵sin∠MNB=sinθ=x，
∴y=F（x）=

6

x+x•(1-2x2)

又由BM=

3

1-x2

≤6，BN=

3

x 1-x2

≤4

3

得：x∈[

1

2

，

2

2

]，
又由F′（x）=

12(3x2-1)

(-2x3+2x)

，
当x∈[

1

2

，

3

3

]时，F′（x）≤0，此时F（x）为减函数，
当x∈[

3

3

，

2

2

]时，F′（x）≥0，此时F（x）为增函数，
比较四个答案中的图象，可知A符合，
故选：A．

点评：本题考查的知识点是函数的图象，函数的解析式，函数的定义域和函数的单调性，是函数图象和性质与导数的综合应用，综合性可，运算量大，属于难题．