Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用再写一式，两式相减的方法，确定数列{a_n}；a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，可求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法得到前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
故{a_n}的通项公式为a_n=4n-2，即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差数列．
设{b_n}的公比为q，则b₂（a₂-a₁）=b₁qd=b₁，d=4，∴q=

1

4

．
故b_n=b₁q^n-1=2×

1

4n-1

，即{b_n}的通项公式为b_n=

2

4n-1

．
（II）∵c_n=

an

bn

=

4n-2

2 4n-1

=(2n-1)4n-1，

∴Tn=c1+c2+…+cn=1+3×41+5×42+…+(2n-1)4n-1， 4Tn=1×4+3×42+5×43+…+(2n-3)4n-1+(2n-1)4n

两式相减整理得T_n=

1

9

[（6n-5）•4ⁿ+5]．

点评：本题主要考查了等差数列性质及等差数列、等比数列的通项公式、求和公式的应用，属于中档题．