Question

已知α，β∈（-

π

2

，

π

2

），tan（α+β+

π

6

）=

1

2

，tan（β-

π

6

）=-

1

3

，则α=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：由tan（α+β+

π

6

）=

1

2

，利用两角和的正切公式求得tan（α+β），再由tan（β-

π

6

）=-

1

3

，利用两角差的正切公式求得tanβ，可得tanα=tan[（α+β）-β]的值，从而求得α的值．

解答： 解：∵已知α，β∈（-

π

2

，

π

2

），tan（α+β+

π

6

）=

1

2

，
∴

tan(α+β)+tan π 6

1-tan(α+β)tan π 6

=

tan(α+β)+ 3 3

1-tan(α+β)× 3 3

=

1

2

，求得tan（α+β）=

3-2 3

6+ 3

．
再由tan（β-

π

6

）=-

1

3

=

tanβ- 3 3

1+tanβ• 3 3

，可得tanβ=

3 3 -3

9+ 3

．
∵tanα=tan[（α+β）-β]=

tan(α+β)-tanβ

1+tan(α+β)tanβ

=-1，
∴α=-

π

4

，
故答案为：-

π

4

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式的应用，属于基础题．