Question

已知（x²-

1

ax

）⁹（a∈R）的展开式中x⁹的系数为-

21

2

，则

∫

a -a

（1+sinx）dx的值等于

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,定积分

专题：二项式定理

分析：在（x²-

1

ax

）⁹的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于9，求得r的值，由x⁹的系数为-

C

3 9

a^-3=-

21

2

，求得a=2，可得

∫

a -a

（1+sinx）dx=

∫

2 -2

（1+sinx）dx 的值．

解答： 解：（x²-

1

ax

）⁹的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 9

•（-1）^r•a^-r•x^18-3r，
令18-3r=9，求得r=3，中x⁹的系数为-

C

3 9

 a^-3=-

21

2

，∴a=2，

∫

a -a

（1+sinx）dx=

∫

2 -2

 （1+sinx）dx=（x-cosx） 

|

2 -2

=（2-cos2）-（-2-cos2）=4，
故答案为：4．

点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．