Question

已知函数f（x）=kx，g（x）=

lnx

x

．
（1）若不等式f（x）=g（x）在区间 （

1

e

，e）内的解的个数；
（2）求证：

ln2

25

+

ln3

35

+…+

ln n

n5

＜

1

2e

．

Answer 1

分析：（I）将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到方程解的情况．
（II）通过（I）得到的函数的单调性，通过对不等式放缩，利用数列的裂项求和的方法证出不等式．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=g（x），得k=

lnx

x2

．
令h(x)=

lnx

x2

所以，方程f（x）=g（x），在区间[

1

e

，e]内解的个数即为函数h(x)=

lnx

x2

，x∈[

1

e

，e]的图象与直线y=k交点的个数．
h′(x)=

1-2lnx

x3

当h′（x）=0时，x=

e

．
当x在区间[

1

e

，e]内变化时，h′（x），h（x）变化如下：

x∈[

1

e

，

e

)，h′(x)＞0；x∈(

e

，e)时，h′(x)＜0
当x=

1

e

时，y=-e²；当x=

e

时，y=

1

2e

；当x=e时，y=

1

e2

．
所以，（1）当k＞

1

2e

或k＜-e²时，该方程无解
（2）当k=

1

2e

或-e2≤k＜

1

e2

时，该方程有一个解；
（3）当

1

e2

≤k＜

1

2e

时，该方程有两个解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

lnx

x2

≤

1

2e

，
∴

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

．

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

≤

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+ 

1

n2

 )

∴∴(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

＜1-

1

n

＜1
∴

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

≤

1

2e

∵

ln2

25

+

ln3

35

+…+

lnn

n5

＜

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

≤

1

2e

∴

ln2

25

+

ln3

35

+…+

lnn

n5

＜

1

2e

．

点评：本题考查通过导函数研究函数的单调性、求函数的极值、求函数交点的个数，以及通过放缩的方法证明不等式、考查利用裂项法求数列的和．