Question

6．如图．在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=4，$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=-1，则$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值是（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． $\frac{7}{8}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 把所用向量都用$\overrightarrow{BD}、\overrightarrow{DF}$表示，结合已知求出${\overrightarrow{BD}}^{2}、{\overrightarrow{DF}}^{2}$的值，则$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值可求．

解答 解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
∴$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CF}$=-$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CA}$=-$\overrightarrow{BD}+3\overrightarrow{DF}$，
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$=${\overrightarrow{DF}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}=-1$，
$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}$=9${\overrightarrow{DF}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}=4$，
∴${\overrightarrow{DF}}^{2}=\frac{5}{8}$，${\overrightarrow{BD}}^{2}=\frac{13}{8}$，
又∵$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{DF}$，
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}$=4${\overrightarrow{DF}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}=\frac{7}{8}$，
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，是中档题．