Question

12．△ABC中，已知角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，公比是q．
（1）若A，B，C成等差数列，求q的值．
（2）求q的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知角A，B，C成等差数列可求B，A+C=120°，再由a，b，c成等比数列可得b²=ac，结合正弦定理可得sin²B=sinAsinC，利用二倍角及辅助角公式整理可得sin（2A-30°）=1，求得A，B，C，得到△ABC是等边三角形．即可得解．
（2）依题意，设三角形的三边分别为a，aq，aq²，利用任意两边之和大于第三边即可求得q的取值范围，从而可得结论．

解答 解：（1）△ABC中，∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C． 再由A+B+C=180°可得，B=60°，A+C=120°．
由a，b，c成等比数列可得b²=ac，由正弦定理可得sin²B=sinAsinC，
即  $\frac{3}{4}$=sinAsin（120°-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA+$\frac{1}{2}$sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{cos2A}{4}$+$\frac{1}{4}$．
整理可得，sin（2A-30°）=1，故有 A=60°，
∴B=C=60°，故△ABC是等边三角形．
∴q=1．
（2）设三角形的三边分别为a，aq，aq²，
则a+aq＞aq²，a+aq²＞aq，aq+aq²＞a，
解得：$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$＜q＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 解三角形的常见类型是结合正弦定理、余弦定理，三角形的内角和、大边对大角等知识综合应用，而二倍角公式及辅助角公式是经常用到的公式，要注意掌握，本题考查等比数列的性质，考查解不等式组的能力，属于中档题．