Question

12．已知三角形ABC内的一点D满足$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，且|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|．平面ABC内的动点P，M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，则|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是（　　）

• A． $\frac{49}{4}$
• B． $\frac{43}{4}$
• C． $\frac{{37+6\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{37+2\sqrt{33}}}{4}$

Answer 1

分析 根据题意可设：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$）．根据动点P，M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，可设：P（2+cosθ，sinθ），M（$\frac{1+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}$），求得$\overrightarrow{BM}$ 得坐标，计算${\overrightarrow{BM}}^{2}$=$\frac{37+12sin（\frac{π}{6}-θ）}{4}$，根据正弦函数的有解性求得它的最大值．

解答 解：∵三角形ABC内的一点D满足：$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，且|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，
∴可设：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
∵动点P，M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，
可设：P（2+cosθ，sinθ），M（$\frac{1+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{3+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}$），
∴${\overrightarrow{BM}}^{2}$=${（\frac{3+cosθ}{2}）}^{2}$+${（\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}）}^{2}$=$\frac{37+12sin（\frac{π}{6}-θ）}{4}$≤$\frac{49}{4}$，
当且仅当sin（$\frac{π}{6}$-θ）=1时取等号，
故选：A．

点评 本题考查了向量坐标运算性质、模的计算公式、数量积运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．