Question

 如图1­6所示，四棱柱ABCD ­A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A₁C₁∩B₁D₁＝O₁，四边形ACC₁A₁和四边形BDD₁B₁均为矩形．

(1)证明：O₁O⊥底面ABCD；

(2)若∠CBA＝60°，求二面角C₁­OB₁­D的余弦值．

图1­6

Answer 1

解：(1)如图(a)，因为四边形ACC₁A₁为矩形，所以CC₁⊥AC.同理DD₁⊥BD.

因为CC₁∥DD₁，所以CC₁⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC₁⊥底面ABCD.

由题设知，O₁O∥C₁C.故O₁O⊥底面ABCD.

(2)方法一： 如图(a)，过O₁作O₁H⊥OB₁于H，连接HC₁.

由(1)知，O₁O⊥底面ABCD，所以O₁O⊥底面A₁B₁C₁D₁，于是O₁O⊥A₁C₁.

图(a)

又因为四棱柱ABCD ­A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，所以四边形A₁B₁C₁D₁是菱形，

因此A₁C₁⊥B₁D₁，从而A₁C₁⊥平面BDD₁B₁，所以A₁C₁⊥OB₁，于是OB₁⊥平面O₁HC₁.

进而OB₁⊥C₁H.故∠C₁HO₁是二面角C₁­OB₁­D的平面角．

不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，OB₁＝.

在Rt△OO₁B₁中，易知O₁H＝＝2.而O₁C₁＝1，于是C₁H＝＝＝.

故cos∠C₁HO₁＝＝＝.

即二面角C₁­OB₁­D的余弦值为.

方法二：因为四棱柱ABCD ­A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O₁O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO₁两两垂直．

图(b)

如图(b)，以O为坐标原点，OB，OC，OO₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O ­xyz，不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，于是相关各点的坐标为O(0，0，0)，

B₁(，0，2)，C₁(0，1，2)．

易知，n₁＝(0，1，0)是平面BDD₁B₁的一个法向量．

设n₂＝(x，y，z)是平面OB₁C₁的一个法向量，则即

取z＝－，则x＝2，y＝2，所以n₂＝(2，2，－)．

设二面角C₁­OB₁­D的大小为θ，易知θ是锐角，于是

cos θ＝|cos〈n₁，n₂〉|＝＝＝.

故二面角C₁­OB₁­D的余弦值为.