Question

如图1­4，在棱长为2的正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A₁B₁，A₁D₁的中点，点P，Q分别在棱DD₁，BB₁上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．

(1)当λ＝1时，证明：直线BC₁∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

图1­4

Answer 1

解：方法一(几何方法)：

(1)证明：如图①，连接AD₁，由ABCD­A₁B₁C₁D₁是正方体，知BC₁∥AD₁.

当λ＝1时，P是DD₁的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD₁，所以BC₁∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC₁⊄平面EFPQ，故直线BC₁∥平面EFPQ.

图①　　　　　　　　　图②　　　

(2)如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.

又DP＝BQ，DP∥BQ，

所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝PQ.

在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，

于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ也是等腰梯形．

同理可证四边形PQMN也是等腰梯形．

分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，

则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，

故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角．

若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.

连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF＝MN知四边形EFNM是平行四边形．

连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，

所以GH＝ME＝2.

在△GOH中，GH²＝4，OH²＝1＋λ²－＝λ²＋，

OG²＝1＋(2－λ)²－＝(2－λ)²＋，

由OG²＋OH²＝GH²，得(2－λ)²＋＋λ²＋＝4，解得λ＝1±，

故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．

方法二(向量方法)：

以D为原点，射线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C₁(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．

图③　　　　

＝(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．

(1)证明：当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，

因为＝(－2，0，2)，

所以＝2，即BC₁∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC₁⊄平面EFPQ，故直线BC₁∥平面EFPQ.

(2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由可得

于是可取n＝(λ，－λ，1)．

同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．

若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，

则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，

即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.

故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．