Question

如图1­5所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．

(1)求证：EF⊥BC；

(2)求二面角E­BF­C的正弦值．

图1­5

Answer 1

解：(1)证明：方法一，过点E作EO⊥BC，垂足为O，连接OF.由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC＝∠FOC＝，即FO⊥BC.又EO⊥BC，EO∩FO＝O，所以BC⊥平面EFO.又EF⊂平面EFO，所以EF⊥BC.

图1

方法二，由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线，并将其作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0)，因而E(0，，)，F(，，0)，所以＝0，

从而，所以EF⊥BC.

图2

(2)方法一，在图1中，过点O作OG⊥BF，垂足为G，连接EG.因为平面ABC⊥平面BDC，所以EO⊥面BDC，又OG⊥BF，所以由三垂线定理知EG⊥BF，

因此∠EGO为二面角E­BF­C的平面角．

在△EOC中，EO＝EC＝BC·cos 30°＝.

由△BGO∽△BFC知，OG＝·FC＝，因此tan∠EGO＝＝2，从而得sin∠EGO＝，即二面角E­BF­C的正弦值为.

方法二，在图2中，平面BFC的一个法向量为n₁＝(0，0，1)．

设平面BEF的法向量n₂＝(x，y，z)，

又＝(，，0)，＝(0，，)，

所以得其中一个n₂＝(1，－，1)．

设二面角E­BF­C的大小为θ，且由题知θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n₁，n₂〉|＝＝，

因此sin θ＝＝，即所求二面角正弦值为.