Question

如图1­2，在正方体ABCD ­ A₁B₁C₁D₁中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC₁上，直线OP与平面A₁BD所成的角为α，则sin α的取值范围是(　　)

图1­2

Answer 1

B　[解析] 连接A₁O，OP和PA₁，不难知∠POA₁就是直线OP与平面A₁BD所成的角(或其补角)设正方体棱长为2，则A₁O＝.

(1)当P点与C点重合时，PO＝，A₁P＝2，且cos α＝＝－，此时α＝∠A₁OP为钝角，sin α＝＝；

(2)当P点与C₁点重合时，PO＝A₁O＝，A₁P＝2，且cos  α＝＝，此时α＝∠A₁OP为锐角，sin α＝＝；

(3)在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中，CC₁上一定存在一点P，使得α＝∠A₁OP＝90°.又因为＜，故sin α的取值范围是，故选B.