Question

12．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右交点为F（c，0），经过原点且以F为圆心的圆被双曲线的一条渐近线所截得的弦长为$\sqrt{3}c$，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，由点到直线的距离公式求出F到渐近线的距离，再由垂径定理得答案．

解答 解：如图，

取双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，F到OA的距离d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=b$，
由题意知，2$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{3}c$，即2a=$\sqrt{3}c$，得e=$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．