Question

【题目】已知圆，点为坐标原点，一条直线与圆相切并与椭圆交于不同的两点.

（1）设，求的表达式；

（2）若，求直线的方程；

（3）若，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1；（2）或；（3）.

【解析】

（1）利用直线与圆相切可得圆心到直线距离等于半径，求得；根据直线与椭圆交于不同两点可得，求得，由此可得；

（2）直线与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理表示出，由此构造方程求得，根据可求得，进而得到所求直线方程；

（3）利用可求得的范围；利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形的底和高，从而将表示为关于的函数，利用函数值域的求解方法求得结果.

（1）与圆相切，，则，

由，消去得：，

与椭圆交于不同的两点，

，，

.

（2）设，，

由（1）知：，.

则 ，

解得：，即，，

直线的方程为：或.

（3）由（2）知：.

，，解得：，

又，

原点到直线距离，

，

令，由可知：，，

，

由得：，，，

即面积的取值范围为.