Question

12．正棱锥S-ABCD的底面边长为4，高为1，求
（1）棱锥的侧棱长和斜高；
（2）棱锥的表面积与体积．

Answer 1

分析 （1）设SO为正四棱锥S-ABCD的高，则SO=1，作OM⊥BC，则M为BC 中点，连结OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM，由此能求出棱锥的侧棱长和斜高．
（2）棱锥的表面积S=S_{正方形ABCD}+4S_△SBC，由此能求出表面积，利用体积公式求解结果．

解答 解：（1）设SO为正四棱锥S-ABCD的高，则SO=1，
作OM⊥BC，则M为BC 中点，
连结OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM，
BC=4，BM=2，则OM=2，OB=2$\sqrt{2}$，
在Rt△SOD中，SB=$\sqrt{S{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{1+8}$=3，
在Rt△SOM中，SM=$\sqrt{5}$，
∴棱锥的侧棱长为3，斜高为$\sqrt{5}$．
（2）棱锥的表面积：
S=S_{正方形ABCD}+4S_△SBC
=4×4+4×（$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{5}$）
=16+8$\sqrt{5}$．
几何体的体积为：$\frac{1}{3}×4×4×1$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查棱锥的侧棱长和斜高及棱锥的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．