Question

4．已知$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinx，m+cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，-m+cosx），且f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数的解析式；   
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]时，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）进行向量坐标的数量积运算，并根据二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式进行化简，从而得出f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}-{m}^{2}$；
（2）根据x的范围可以求出$2x+\frac{π}{6}$的范围，这样根据正弦函数的图象即可求出$sin（2x+\frac{π}{6}）$的最大值，进而得出f（x）的最大值及对应x的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\sqrt{3}sinxcosx+co{s}^{2}x-{m}^{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}-{m}^{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}-{m}^{2}$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}-{m}^{2}$；
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}-{m}^{2}$；
（2）x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$时，$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$；
∴$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$时，f（x）取最大值$\frac{3}{2}-{m}^{2}$．

点评 考查向量坐标的数量积的运算，以及二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，熟悉正弦函数的图象，不等式的性质．