Question

13．关于函数f（x）=3cos（2x-$\frac{π}{6}$）（x∈R），有下列结论：
①f（x）表达式可写为y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）；   
②f（x）的最小正周期为2π；
③f（x）的图象关于x=$\frac{π}{3}$对称；           
④f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]上单调递增．
其中正确的结论是①④．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①根据三角恒等变换把函数f（x）可以化为y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）；   
②求出f（x）的最小正周期即可；
③计算x=$\frac{π}{3}$时f（$\frac{π}{3}$）的值即可判断正误；           
④根据x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]时2x-$\frac{π}{6}$的取值范围，即可判断f（x）的单调性．

解答 解：对于①，函数f（x）=3cos（2x-$\frac{π}{6}$）=3cos（$\frac{π}{6}$-2x）=3sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$+2x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）表达式可写为y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），原命题正确；   
对于②，f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，原命题错误；
对于③，x=$\frac{π}{3}$时，f（$\frac{π}{3}$）=3cos（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=0，
∴f（x）的图象不关于x=$\frac{π}{3}$对称，原命题错误；           
对于④，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴f（x）=3cos（2x-$\frac{π}{6}$）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]上单调递增，原命题正确；
综上，正确的命题是①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合性题目．