Question

5．已知二项式 （$\frac{1}{2}$x+2）ⁿ
（1）当n=4时，写出该二项式的展开式；
（2）若展开式的前三项的二项式系数的和等于79，则展开式中第几项的二项式系数最大？

Answer 1

分析 （1）当n=4时，（$\frac{1}{2}$x+2）ⁿ =（$\frac{1}{2}$x+2）⁴，按照二项式定理展开可得结论．
（2）由题意可得${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$=79，求得n=12，再根据二项式系数的性质，可得第7项（r=6）的二项式系数最大．

解答 解：（1）当n=4时，（$\frac{1}{2}$x+2）ⁿ =（$\frac{1}{2}$x+2）⁴=$\frac{{x}^{4}}{16}$+x³+6x²+16x+16．
（2）若展开式的前三项的二项式系数的和等于79，
则${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$=1+n+$\frac{n（n-1）}{2}$=79，求得n=12，
再根据二项式系数的性质，第7项（r=6）的二项式系数最大．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．