Question

15．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2a₂=a₁+a₃，数列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$是公差为1的等差数列，数列{b_n}满足b₁=$\frac{1}{2}$，b_n+1=$\frac{n+1}{2n}{b_n}$，记数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式及前n项和；
（2）若不等式$\frac{{（{S_n}+\sqrt{S_n}）（2-{T_n}）}}{n+2}$≤λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$\sqrt{S_n}=\sqrt{a_1}+（n-1）$，结合已知，列方程 求得a₁和d，进而求得S_n，再利用a_n和S_n的关系求得a_n，$\frac{{{b_{n+1}}}}{n+1}=\frac{1}{2}•\frac{b_n}{n}$，${b_n}=n{（\frac{1}{2}）^n}$，利用“错位相减法”，即可求得${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$；
（2）式$\frac{{（{S_n}+\sqrt{S_n}）（2-{T_n}）}}{n+2}$=$\frac{{n}^{2}+2}{{2}^{n}}$，令$f（n+1）-f（n）=\frac{{{{（n+1）}^2}+（n+1）}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{{{n^2}+n}}{2^n}=\frac{{-{n^2}+n+2}}{{{2^{n+1}}}}=-\frac{（n-2）（n+1）}{{{2^{n+1}}}}$，根据函数的函数的零点定理得函数的最大值，$f{（n）_{max}}=f（2）=f（3）=\frac{3}{2}$，求得$λ≥\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）∵$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$是公差为1的等差数列，
∴$\sqrt{S_n}=\sqrt{a_1}+（n-1）$，
∵2a₂=a₁+a₃，
3a₂=a₁+a₂+a₃=S₃，
3（S₂-S₁）=S₃，
$3[{{{（{\sqrt{a_1}+1}）}^2}-{{（{\sqrt{a{\;}_1}}）}^2}}]={（{\sqrt{a_1}+2}）^2}$，
$3（2\sqrt{a_1}+1）=（{a_1}+4\sqrt{a_1}+4）$，
∴${a_1}-2\sqrt{a{\;}_1}+1=0$，
∴a₁=1，
∴$\sqrt{S_n}=n$，${S_n}={n^2}$
a_n=2n-1（n∈N^*），
$\frac{{{b_{n+1}}}}{n+1}=\frac{1}{2}•\frac{b_n}{n}$，
∵${b_1}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b_n}{n}={（\frac{1}{2}）^n}$，
∴${b_n}=n{（\frac{1}{2}）^n}$，
{b_n}的通项公式及前n项和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得：${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，
（2）令$f（n）=\frac{{（{S_n}+\sqrt{S_n}）（2-\sqrt{n}）}}{n+2}=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}$，
$f（n+1）-f（n）=\frac{{{{（n+1）}^2}+（n+1）}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{{{n^2}+n}}{2^n}=\frac{{-{n^2}+n+2}}{{{2^{n+1}}}}=-\frac{（n-2）（n+1）}{{{2^{n+1}}}}$，
∴n≥3时  f（n+1）-f（n）＜0，
当n＜2时  f（n+1）-f（n）＞0，
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
∴$f{（n）_{max}}=f（2）=f（3）=\frac{3}{2}$，
∴$λ≥\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查等差和等比数列的通项公式及前n项和公式，“错位相减法”求前n项和公式，考查不等成立，属于中档题．