Question

20．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow a=（1，2）$．
（1）若|$\overrightarrow b$|=3$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求$\overrightarrow b$的坐标．
（2）若|$\overrightarrow c$|=$\sqrt{10}$，且2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$与4$\overrightarrow a-3\overrightarrow c$垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow c$的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，从而可得到$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$，进而$|\overrightarrow{b}|=|k||\overrightarrow{a}|$，这样便可求出k的值，从而得出$\overrightarrow{b}$的坐标；
（2）根据$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$与$4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}$垂直便可得出$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}）=0$，根据条件进行数量积的运算即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$的值，从而求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$；
∴设$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$，且$|\overrightarrow{b}|=3\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$；
∴$|\overrightarrow{b}|=|k||\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}|k|=3\sqrt{5}$；
∴k=±3；
∴$\overrightarrow{b}=（3，6）$，或$\overrightarrow{b}=（-3，-6）$；
（2）∵$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）⊥（4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}）$，且$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}，|\overrightarrow{c}|=\sqrt{10}$；
∴$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}）$
=$8{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow{c}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$
=$40-30-10\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$
=0；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞∈[0，π]$；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{4}$．

点评 考查共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，根据向量坐标求向量长度，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的范围．