Question

5．已知函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$），b=2f（2），c=（ln2）f（ln2），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）

• A． a＜c＜b
• B． b＜c＜a
• C． a＜b＜c
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于当x≠0时，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，可得：当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，即当x＞0时，g′（x）＞0，因此当x＞0时，函数g（x）单调递增，然后利用函数g（x）的单调性得答案．

解答 解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵当x≠0时，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，
∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0．
即当x＞0时，g′（x）＞0，
因此当x＞0时，函数g（x）单调递增，
∵2＞ln2＞$\frac{1}{2}$，
∴g（2）＞g（ln2）＞g（$\frac{1}{2}$），
即b＞c＞a，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了构造函数法比较大小，考查了推理能力，是中档题．