Question

7．如图，圆C与圆D半径分别为r₁，r₂，相交于A，B两点，直线l₁过点A，分别交圆C、圆D于点M、N（M、N在A的异侧），直线l₂过点B，分别交圆C、圆D于点P，Q（P、Q在B的异侧），且l₁平行于
l₂，点C，D在l₁与l₂之间．
（1）求证：四边形MNQP为平行四边形；
（2）若四边形MABP面积与四边形NABQ面积相等，求证：线段AB与线段IJ互相平分．

Answer 1

分析 （1）证明两组对边分别平行，即可证明四边形MNQP为平行四边形；
（2）证明MB∥AQ，PA∥BN，可得四边形AIBJ为平行四边形，即可证明：线段AB与线段IJ互相平分．

解答 证明：（1）由题意可知四边形MABP，NABQ均为等腰梯形，
∴∠PMA=∠ABQ=∠BQN，
∴∠PMA+∠ANQ=∠BQN+∠ANQ=180°，
∴PM∥QN，
又∵MN∥PQ，
∴四边形MNQP是平行四边形；
（2）∵S_MABP=S_NABQ，
∴PB+MA=BQ+AN，
又∵MN=PQ，
∴MA=BQ，MA∥BQ，
∴四边形MAQB为平行四边形，
∴MB∥AQ，同理可得PA∥BN，
∴四边形AIBJ为平行四边形，
∴线段AB与线段IJ互相平分．

点评 本题考查平行四边形的证明，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．