Question

13．小丽今天晚自习准备复习历史、地理或政治中的一科，她用数学游戏的结果来决定选哪一科，游戏规则是：在平面直角坐标系中，以原点O为起点，再分别以P₁（-1，0），P₂（-1，1），P₃（0，1），P₄（1，1），P₅（1，0）这5个点为终点，得到5个向量，任取其中两个向量，计算这两个向量的数量积y，若y＞0，就复习历史，若y=0，就复习地理，若y＜0，就复习政治．
（1）写出y的所有可能取值；
（2）求小丽复习历史的概率和复习地理的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意利用向量的数量积进行计算，得到y的所有可能取值为-1，0，1．
（Ⅱ）得到5个向量，任取其中两个向量，所有可能情况总数n=${C}_{5}^{2}$=10种，其中y＞0的情况有4种，y=0的情况有3种，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）依题意计算$\overrightarrow{O{P_1}}\;•\;\overrightarrow{O{P_2}}=\overrightarrow{O{P_2}}\;•\;\overrightarrow{O{P_3}}=\overrightarrow{O{P_3}}\;•\;\overrightarrow{O{P_4}}=\overrightarrow{O{P_4}}\;•\;\overrightarrow{O{P_5}}=1$，
$\overrightarrow{O{P_1}}\;•\;\overrightarrow{O{P_3}}=\overrightarrow{O{P_2}}\;•\;\overrightarrow{O{P_4}}=\overrightarrow{O{P_3}}\;•\;\overrightarrow{O{P_5}}=0$，
$\overrightarrow{O{P_1}}\;•\;\overrightarrow{O{P_4}}=\overrightarrow{O{P_2}}\;•\;\overrightarrow{O{P_5}}=\overrightarrow{O{P_1}}\;•\;\overrightarrow{O{P_5}}=-1$，
所以y的所有可能取值为-1，0，1．
（Ⅱ）得到5个向量，任取其中两个向量，
所有可能情况总数n=${C}_{5}^{2}$=10种，
其中y＞0的情况有4种，所以小丽复习历史的概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，
y=0的情况有3种，所以小丽复习地理的概率为$\frac{3}{10}$．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．