Question

3．锐角△ABC中，已知$a=\sqrt{3}，A=\frac{π}{3}$，则b²+c²+3bc的取值范围是（　　）

• A． （5，15]
• B． （7，15]
• C． （7，11]
• D． （11，15]

Answer 1

分析 由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，结合已知可先表示b，c，然后由△ABC为锐角三角形及B+C=120°可求B的范围，再把所求的bc用sinB，cosB表示，利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc的范围，由余弦定理可得b²+c²+3bc=4bc+3，从而可求范围．

解答 解：由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∵△ABC为锐角三角形，
∴0°＜B＜90°，0°＜C＜90°且B+C=120°，
∴30°＜B＜90°
∵bc=4sinBsin（120°-B）=4sinB（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=2$\sqrt{3}$sinBcosB+2sin²B=$\sqrt{3}$sin2B+（1-cos2B）=2sin（2B-30°）+1，
∵30°＜B＜90°，
∴30°＜2B-30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2B-30°）≤1，
∴2＜2sin（2B-30°）+1≤4，
即2＜bc≤3，
∵$a=\sqrt{3}，A=\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：3=b²+c²-bc，可得：b²+c²=bc+3，
∴b²+c²+3bc=4bc+3∈（11，15]．
故选：D．

点评 本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用，属于中档题．