Question

8．直线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）和圆x²+y²=16交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为（　　）

• A． （3，-3）
• B． $（-\sqrt{3}，3）$
• C． $（\sqrt{3}，-3）$
• D． $（3，-\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 将直线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）消去t后得到y与x的方程：y=$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$，与圆x²+y²=9，联立可得可x²-6x+8=0，根据一元二次方程的韦达定理即可求出线段AB的中点坐标．

解答 解：直线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}$（t为参数）消去t得到：y=$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$①
将①带入圆x²+y²=16
整理得到x²-6x+8=0
所以x₁+x₂=6
y₁+y₂=-2$\sqrt{3}$
∴线段AB的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）即（3，-$\sqrt{3}$），
故选：D．

点评 本题考查把参数方程化为普通方程的方法，一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式的应用，求得x₁+x₂=6，是解题的关键，属于中档题．