Question

18．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，$cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求△ADC的面积
（Ⅱ）若$BC=2\sqrt{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$sinD=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，即可求△ABC的面积；
（Ⅱ）在△ACD中，求出AC，在△ACD中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=12，把已知条件代入并化简求AB的长．

解答 解：（Ⅰ）$cosD=cos2B=2{cos^2}B-1=-\frac{1}{3}$…（2分）
因为∠D∈（0，π），所以$sinD=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，…（4分）
所以△ACD的面积$S=\frac{1}{2}•AB•CD•sinD=\sqrt{2}$…（6分）
（Ⅱ）在△ACD中，AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cosD=12，所以$AC=2\sqrt{3}$．（8分）
在△ACD中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=12…（10分）
把已知条件代入并化简得：AB²-4AB=0因为AB≠0，所以．AB=4…（12分）

点评 本题考查二倍角的余弦公式及余弦定理等有关知识的综合运用，属于中档题．