Question

10．已知函数f（x）=alnx+$\frac{a+1}{2}{x^2}$+1．
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，求f（x）在区间$[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值与最小值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当-1＜a＜0时，任意x＞0有f（x）＞1+$\frac{a}{2}ln（{-a}）$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=$-\frac{1}{2}$lnx+$\frac{1}{4}$x²+1，x∈$[{\frac{1}{e}，e}]$，f′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{2x}$．可得其单调性极值与区间端点函数值，进而得到最值．
（2）f′（x）=$\frac{a}{x}$+（a+1）x=$\frac{（a+1）{x}^{2}+a}{x}$（x＞0）．对a分类讨论可得：①a=-1时，②a≠-1时，△=-4a（a+1），由△≤0，△＞0，解得a范围即可得出单调性．
（3）当-1＜a＜0时，函数f（x）在x=$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$取得极小值即最小值．f$（\sqrt{\frac{-a}{a+1}}）$=$\frac{a}{2}$ln$\frac{-a}{a+1}$-$\frac{a}{2}$+1．由于任意x＞0有f（x）＞1+$\frac{a}{2}ln（{-a}）$恒成立，代入化简即可得出．

解答 解：（1）a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=$-\frac{1}{2}$lnx+$\frac{1}{4}$x²+1，x∈$[{\frac{1}{e}，e}]$，
f′（x）=$-\frac{1}{2x}$+$\frac{1}{2}$x=$\frac{（x+1）（x-1）}{2x}$．
可知：函数f（x）在$[\frac{1}{e}，1）$上单调递减，在（1，e]上单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值即最小值，f（1）=$\frac{5}{4}$．
由$f（\frac{1}{e}）$=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{4{e}^{2}}$，f（e）=$\frac{1}{2}+\frac{{e}^{2}}{4}$，可得f（e）＞$f（\frac{1}{e}）$．
∴函数f（x）在x=e时取得最大值，f（e）=$\frac{1}{2}+\frac{{e}^{2}}{4}$．
综上可得：f（x）在区间$[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值与最小值分别为：$\frac{1}{2}+\frac{{e}^{2}}{4}$，$\frac{5}{4}$．
（2）f′（x）=$\frac{a}{x}$+（a+1）x=$\frac{（a+1）{x}^{2}+a}{x}$（x＞0）．
①a=-1时，f′（x）=-$\frac{1}{x}$＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
②a≠-1时，△=-4a（a+1），由△≤0，解得a≥0，或a＜-1．
则a≥0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
a＜-1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
由△＞0，解得-1＜a＜0，$\frac{-a}{a+1}$＞0．
可得：f′（x）=$\frac{（a+1）（x+\sqrt{\frac{-a}{a+1}}）（x-\sqrt{\frac{-a}{a+1}}）}{x}$，
∴函数f（x）在$（0，\sqrt{\frac{-a}{a+1}}）$上单调递减；在$[\sqrt{\frac{-a}{a+1}}，+∞）$上单调递增．
综上可得：a≤-1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
-1＜a＜0时，函数f（x）在$（0，\sqrt{\frac{-a}{a+1}}）$上单调递减；在$[\sqrt{\frac{-a}{a+1}}，+∞）$上单调递增．
（3）当-1＜a＜0时，函数f（x）在x=$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$取得极小值即最小值．
f$（\sqrt{\frac{-a}{a+1}}）$=$\frac{a}{2}$ln$\frac{-a}{a+1}$-$\frac{a}{2}$+1．
由于任意x＞0有f（x）＞1+$\frac{a}{2}ln（{-a}）$恒成立，
∴$\frac{a}{2}$ln$\frac{-a}{a+1}$-$\frac{a}{2}$+1＞1+$\frac{a}{2}ln（{-a}）$，化为：ln（a+1）＞-1，又-1＜a＜0，
解得$\frac{1}{e}-1＜$a＜0．
∴a的取值范围是$（\frac{1}{e}-1，0）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．