Question

20．若对任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有$\frac{a}{{x}_{1}}$+x₁lnx₁≥x₂³-x₂²-3成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 设f（x）=$\frac{a}{x}+xlnx$，g（x）=x³-x²-3，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，求出g（x）的最大值为1，则f（x）≥1恒成立，故f（1）≥1，利用排除法可选出答案．

解答 解：设f（x）=$\frac{a}{x}+xlnx$，g（x）=x³-x²-3，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，则f_min（x）≥g_max（x），
g′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
∴当$\frac{1}{2}≤x＜\frac{2}{3}$时，g′（x）＜0，当$\frac{2}{3}＜x≤2$时，g′（x）＞0，
∴g（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]上单调递减，在（$\frac{2}{3}$，2]上单调递增，
又g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{25}{8}$，g（2）=1，
∴g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为g_max（x）=1．
∴f_min（x）≥1，
∴f（1）≥f_min（x）≥1，即a≥1，
排除A，C，D，
故选B．

点评 本题考查了导数与函数的单调性的关系，函数最值的计算，函数恒成立问题研究，属于中档题．