Question

5．已知函数$f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的一系列对应值如表：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{17π}{6}$
f（x）	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；
（2 ）根据（1）的结果若函数y=f（kx）（k＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，当$x∈[0，\frac{π}{3}]$时，方程f（kx）=m恰好有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由表格提供的数据知$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$，且T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{17π}{6}-\frac{5π}{6}$，由此得到f（x）=2sin（x+φ）+1，再把（$\frac{π}{3}$，1）代入，能求出f（x）．
（2）y=f（kx）=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1，由函数y=f（kx）（k＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$得k=3，从而y=f（kx）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）由表格提供的数据知：
$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$，且T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{17π}{6}-\frac{5π}{6}$，
解得A=2，B=1，ω=1，
∴f（x）=2sin（x+φ）+1，
把（$\frac{π}{3}$，1）代入，得：2sin（$\frac{π}{3}$+φ）+1=1，解得φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1．
（2）y=f（kx）=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1，
∵函数y=f（kx）（k＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，
∴T=$\frac{2π}{k}$=$\frac{2π}{3}$，解得k=3，
∴y=f（kx）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（3x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]
y=f（kx）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1）∈[1-$\sqrt{3}$，3]
当x=$\frac{π}{3}$时，y=$\sqrt{3}$+1，
∴实数m的取值范围是[1+$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．