Question

20．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=$\frac{5}{2}，b=\sqrt{6}，4a-3\sqrt{6}$cosA=0．
（1）求a的值；
（2）若B=λA，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得12a²+80a-347=0，由此能求出a．
（2）求出cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，从而sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而cos2A=cos²A-sin²A=$\frac{1}{3}$，再由余弦定理得cosB=$\frac{1}{3}$，由此得到cos2A=cosB，从而能求出λ．

解答 解：（1）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=$\frac{5}{2}，b=\sqrt{6}，4a-3\sqrt{6}$cosA=0．
∴4a=3$\sqrt{6}$×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∵c=$\frac{5}{3}$，b=$\sqrt{6}$，∴12a²+80a-347=0，
解得a=$\frac{3}{2}$或a=-$\frac{49}{6}$（舍）．
故a=$\frac{3}{2}$．
（2）由（1）可知cosA=$\frac{4}{3\sqrt{6}}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos2A=cos²A-sin²A=$\frac{1}{3}$，
∵$a=\frac{3}{2}$，c=$\frac{5}{2}$，b=$\sqrt{6}$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{3}$，
∴cos2A=cosB，
∵△ABC中，c＞b＞a．∴B=2A，
∴λ=2．

点评 本题考查余弦定理、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．