Question

8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，如果x₁，x₂∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）且x₁，x₂是方程f（x）=m的两个实数根，其中m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），则f（x₁+x₂）=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数图象的对称性，求得 x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$，可得f（x₁+x₂）的值．

解答 解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，
可得$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根据五点法作图可的2•$\frac{π}{6}$+φ=0，∴φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
x₁，x₂∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）且x₁，x₂是方程f（x）=m的两个实数根，其中m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
则$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{5π}{12}$，
∴x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$，f（x₁+x₂）=sin（2•$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．