Question

15．已知抛物线ω：y²=ax（a＞0）上一点，P（t，2）到焦点F的距离为2t
（Ⅰ）求抛物线ω的方程
（Ⅱ）如图已知点D的坐标为（4，0），过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于一定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线的定义，可得a=4t，将P代入抛物线方程，求得at=4，代入即可求得a的值，求得抛物线ω的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线MN的方程为x=my+1，联立方程组，表示出直线ND的方程，与抛物线ω的准线方程构成方程组，解得Q的坐标，求出直线MQ的斜率，得到直线MQ的方程，求出交点坐标即可．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线的定义可知丨PF丨=t+$\frac{a}{4}$=2t，则a=4t，
由点P（t，2）在抛物线上，则at=4，
∴a×$\frac{a}{4}$=4，则a²=16，
由a＞0，则a=4，
∴抛物线的方程y²=4x；
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
设直线MN的方程为x=my+1
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4=0，
由韦达定理可知：y₁•y₂=-4，
依题意，直线ND与x轴不垂直，∴x₂=4．
∴直线ND的方程可表示为，y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$（x-4）①
∵抛物线ω的准线方程为，x=-1②
由①，②联立方程组可求得Q的坐标为（-1，-$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$）
∴Q的坐标可化为（-1，$\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}$），
∴k_MQ=$\frac{\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}-{y}_{1}}{-1-{x}_{1}}$，
∴直线MQ的方程为y-y₁=$\frac{4{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-1}$（x-x₁），
令y=0，可得x=x₁-$\frac{{y}_{1}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴直线MQ与x轴交于定点（$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．